Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

25.12.2014

Урок 32 (10 класс)

Тема. Потенциальная энергия

1. Работа силы тяжести

Вычислим работу, используя в этот раз не второй закон Ньютона, а явное выражение для сил взаимодействия между телами в зависимости от расстояний между ними. Это позволит нам ввести понятие потенциальной энергии - энергии, зависящей не от скоростей тел, а от расстояний между телами (или от расстояний между частями одного и того же тела).
Вычислим сначала работу силы тяжести при падении тела (например, камня) вертикально вниз. В начальный момент времени тело находилось на высотеh 1 над поверхностью Земли, а в конечный момент времени - на высотеh 2 (рис.6.5 ). Модуль перемещения тела .

Направления векторов силы тяжести и перемещения совпадают. Согласно определению работы (см. формулу (6.2)) имеем

Пусть теперь тело бросили вертикально вверх из точки, расположенной на высоте h 1 , над поверхностью Земли, и оно достигло высоты h 2 (рис.6.6 ). Векторы и направлены в противоположные стороны, а модуль перемещения . Работу силы тяжести запишем так:

Если же тело перемещается по прямой так, что направление перемещения составляет угол с направлением силы тяжести (рис.6.7 ), то работа силы тяжести равна:

Из прямоугольного треугольника BCD видно, что . Следовательно,

Формулы (6.12), (6.13), (6.14) дают возможность подметить важную закономерность. При прямолинейном движении тела работа силы тяжести в каждом случае равна разности двух значений величины, зависящей от положений тела в начальный и конечный моменты времени. Эти положения определяются высотами h 1 и h 2 тела над поверхностью Земли.
Более того, работа силы тяжести при перемещении тела массой m из одного положения в другое не зависит от формы траектории, по которой движется тело. Действительно, если тело перемещается вдоль кривой ВС (рис.6.8 ), то, представив эту кривую в виде ступенчатой линии, состоящей из вертикальных и горизонтальных участков малой длины, увидим, что на горизонтальных участках работа силы тяжести равна нулю, так как сила перпендикулярна перемещению, а сумма работ на вертикальных участках равна работе, которую совершила бы сила тяжести при перемещении тела по вертикальному отрезку длиной h 1 -h 2 .

Таким образом, работа при перемещении вдоль кривой ВС равна:

При движении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю. В самом деле, пусть тело движется по замкнутому контуру ВСDМВ (рис.6.9 ). На участках ВС и DМ сила тяжести совершает работы, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку. Сумма этих работ равна нулю. Следовательно, равна нулю и работа силы тяжести на всем замкнутом контуре.

Силы, обладающие такими свойствами, называют консервативными .
Итак, работа силы тяжести не зависит от формы траектории тела; она определяется лишь начальным и конечным положениями тела. При перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю.

2. Работа силы упругости

Подобно силе тяжести, сила упругости тоже является консервативной. Чтобы убедиться в этом, вычислим работу, которую совершает пружина при перемещении груза.
На рисунке 6.10, а показана пружина, у которой один конец закреплен неподвижно, а к другому концу прикреплен шар. Если пружина растянута, то она действует на шар с силой (рис.6.10,б ), направленной к положению равновесия шара, в котором пружина не деформирована. Начальное удлинение пружины равно . Вычислим работу силы упругости при перемещении шара из точки с координатой x 1 в точку с координатой x 2 . Из рисунка 6.10, в видно, что модуль перемещения равен:

где - конечное удлинение пружины.

Вычислить работу силы упругости по формуле (6.2) нельзя, так как эта формула справедлива лишь для постоянной силы, а сила упругости при изменении деформации пружины не остается постоянной. Для вычисления работы силы упругости воспользуемся графиком зависимости модуля силы упругости от координаты шара (рис.6.11 ).

При постоянном значении проекции силы на перемещение точки приложения силы ее работа может быть определена по графику зависимости F x от x и что эта работа численно равна площади прямоугольника. При произвольной зависимости F x от x , разбивая перемещение на малые отрезки, в пределах каждого из которых силу можно считать постоянной, увидим, что работа будет численно равна площади трапеции.
В нашем примере работа силы упругости на перемещении точки ее приложения численно равна площади трапеции ВCDM . Следовательно,

Согласно закону Гука и . Подставляя эти выражения для сил в уравнение (6.17) и учитывая, что , получим

Или окончательно

Мы рассмотрели случай, когда направления силы упругости и перемещения тела совпадали: . Но можно было бы найти работу силы упругости, когда ее направление противоположно перемещению тела или составляет с ним произвольный угол, а также при перемещении тела вдоль кривой произвольной формы.
Во всех этих случаях движения тела под действием силы упругости мы пришли бы к той же формуле для работы (6.18). Работа сил упругости зависит лишь от деформаций пружины и в начальном и конечном состояниях.
Таким образом, работа силы упругости не зависит от формы траектории и, так же как и сила тяжести, сила упругости является консервативной.

3. Потенциальная энергия

Используя второй закон Ньютона, что в случае движущегося тела работа сил любой природы может быть представлена в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от скорости тела, - разности между значениями кинетической энергии тела в конечный и начальный моменты времени:

Если же силы взаимодействия между телами являются консервативными, то, используя явные выражения для сил, мы показали, что работу таких сил можно также представить в виде разности двух значений некоторой величины, зависящей от взаимного расположения тел (или частей одного тела):

Здесь высоты h 1 иh 2 определяют взаимное расположение тела и Земли, а удлинения и - взаимное расположение витков деформированной пружины (или значения деформаций другого упругого тела).
Величину, равную произведению массы тела m на ускорение свободного падения g и на высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли (от латинского слова «потенция» - положение, возможность).
Условимся обозначать потенциальную энергию буквой Е п :

Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k тела на квадрат деформации , называют потенциальной энергией упруго деформированного тела :

В обоих случаях потенциальная энергия определяется расположением тел системы или частей одного тела относительно друг друга.
Введя понятие потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энергии. Под изменением величины понимают разность между ее конечным и начальным значениями, поэтому .
Следовательно, оба уравнения (6.20) можно записать так:

откуда .
Изменение потенциальной энергии тела равно работе консервативной силы, взятой с обратным знаком.
Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.
Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.
Знак «-» в формуле (6.23) не означает, что работа консервативных сил всегда отрицательна. Он означает лишь, что изменение потенциальной энергии и работа сил в системе всегда имеют противоположные знаки.
Например, при падении камня на Землю его потенциальная энергия убывает , но сила тяжести совершает положительную работу (A >0). Следовательно, A и имеют противоположные знаки в соответствии с формулой (6.23).
Нулевой уровень потенциальной энергии. Согласно уравнению (6.23) работа консервативных сил взаимодействия определяет не саму потенциальную энергию, а ее изменение.
Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состоянию соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел.
Выбор нулевого уровня производится по-разному и диктуется исключительно соображениями удобства, т. е. простотой записи уравнения, выражающего закон сохранения энергии.
Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальной энергией. Тогда потенциальная энергия всегда положительна или равна нулю.
Итак, потенциальная энергия системы «тело - Земля» - величина, зависящая от положения тела относительно Земли, равная работе консервативной силы при перемещении тела из точки, где оно находится, в точку, соответствующую нулевому уровню потенциальной энергии системы.
У пружины потенциальная энергия минимальна в отсутствие деформации, а у системы «камень - Земля» - когда камень лежит на поверхности Земли. Поэтому в первом случае , а во втором случае . Но к данным выражениям можно добавить любую постоянную величину C , и это ничего не изменит. Можно считать, что .
Если во втором случае положить , то это будет означать, что за нулевой уровень энергии системы «камень - Земля» принята энергия, соответствующая положению камня на высоте h 0 над поверхностью Земли.
Изолированная система тел стремится к состоянию, в котором ее потенциальная энергия минимальна.
Если не удерживать тело, то оно падает на землю (h =0); если отпустить растянутую или сжатую пружину, то она вернется в недеформированное состояние .
Если силы зависят только от расстояний между телами системы, то работа этих сил не зависит от формы траектории. Поэтому работу можно представить как разность значений некоторой функции, называемой потенциальной энергией, в конечном и начальном состояниях системы. Значение потенциальной энергии системы зависит от характера действующих сил, и для его определения необходимо указать нулевой уровень отсчета.

Энергия - важнейшее понятие в механике. Что такое энергия. Существует множество определений, и вот одно из них.

Что такое энергия?

Энергия - это способность тела совершать работу.

Рассмотрим тело, которое двигалось под действием каких-то сил изменило свою скорость с v 1 → до v 2 → . В этом случае силы, действующие на тело, совершили определенную работу A .

Работа всех сил, действующих на тело, равна работе равнодействующей силы.

F р → = F 1 → + F 2 →

A = F 1 · s · cos α 1 + F 2 · s · cos α 2 = F р cos α .

Установим связь между изменением скорости тела и работой, совершенной действующими на тело силами. Для простоты будем считать, что на тело действует одна сила F → , направленная вдоль прямой линии. Под действием этой силы тело движется равноускоренно и прямолинейно. В этом случае векторы F → , v → , a → , s → совпадают по направлению и их можно рассматривать как алгебраические величины.

Работа силы F → равна A = F s . Перемещение тела выражается формулой s = v 2 2 - v 1 2 2 a . Отсюда:

A = F s = F · v 2 2 - v 1 2 2 a = m a · v 2 2 - v 1 2 2 a

A = m v 2 2 - m v 2 2 2 = m v 2 2 2 - m v 2 2 2 .

Как видим, работа, совершенная силой, пропорционально изменению квадрата скорости тела.

Определение. Кинетическая энергия

Кинетическая энергия тела равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости.

Кинетическая энергия - энергия движения тела. При нулевой скорости она равна нулю.

Терема о кинетической энергии

Вновь обратимся к рассмотренному примеру и сформулируем теорему о кинетической энергии тела.

Теорема о кинетической энергии

Работа приложенной к телу силы равна изменению кинетической энергии тела. Данное утверждение справедливо и тогда, когда тело движется под действием изменяющейся по модулю и направлению силы.

A = E K 2 - E K 1 .

Таким образом, кинетическая энергия тела массы m , движущегося со скоростью v → , равна работе, которую сила должна совершить, чтобы разогнать тело до этой скорости.

A = m v 2 2 = E K .

Чтобы остановить тело, нужно совершить работу

A = - m v 2 2 =- E K

Кинетическая энергия - это энергия движения. Наряду с кинетической энергией есть еще потенциальная энергия, то есть энергия взаимодействия тел, которая зависит от их положения.

Например, тело поднято над поверхностью земли. Чем выше оно поднято, тем больше будет потенциальная энергия. Когда тело падает вниз под действием силы тяжести, эта сила совершает работу. Причем работа силы тяжести определяется только вертикальным перемещением тела и не зависит от траектории.

Важно!

Вообще о потенциальной энергии можно говорить только в контексте тех сил, работа которых не зависит от формы траектории тела. Такие силы называются консервативными (или диссипативными).

Примеры диссипативных сил: сила тяжести, сила упругости.

Когда тело движется вертикально вверх, сила тяжести совершает отрицательную работу.

Рассмотрим пример, когда шар переместился из точки с высотой h 1 в точку с высотой h 2 .

При этом сила тяжести совершила работу, равную

A = - m g (h 2 - h 1) = - (m g h 2 - m g h 1) .

Эта работа равна изменению величины m g h , взятому с противоположным знаком.

Величина Е П = m g h - потенциальна энергия в поле силы тяжести. На нулевом уровне (на земле) потенциальная энергия тела равна нулю.

Определение. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - часть полной механической энергии системы, находящейся в поле диссипативных(консервативных) сил. Потенциальная энергия зависит от положения точек, составляющих систему.

Можно говорить о потенциальной энергии в поле силы тяжести, потенциальной энергии сжатой пружины и т.д.

Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

A = - (E П 2 - E П 1) .

Ясно, что потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня (начала координат оси OY). Подчеркнем, что физический смысл имеет изменение потенциальной энергии при перемещении тел друг относительно друга. При любом выборе нулевого уровня изменение потенциальной энергии будет одинаковым.

При расчете движения тел в поле гравитации Земли, но на значительных расстояниях от нее, во внимание нужно принимать закон всемирного тяготения (зависимость силы тяготения от расстояния до цента Земли). Приведем формулу, выражающую зависимость потенциальной энергии тела.

E П = - G m M r .

Здесь G - гравитационная постоянная, M - масса Земли.

Потенциальная энергия пружины

Представим, что в первом случае мы взяли пружину и удлинили ее на величину x . Во втором случае мы сначала удлинили пружину на 2 x , а затем уменьшили на x . В обоих случаях пружина оказалась растянута на x , но это было сделано разными способами.

При этом работа силы упругости при изменении длины пружины на x в обоих случаях была одинакова и равна

A у п р = - A = - k x 2 2 .

Величина E у п р = k x 2 2 называется потенциальной энергией сжатой пружины. Она равна работе силы упругости при переходе из данного состояния тела в состояние с нулевой деформацией.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Инженером и физиком Уильямом Ренкином .

Единицей измерения энергии в СИ является Джоуль .

Потенциальная энергия принимается равной нулю для некоторой конфигурации тел в пространстве, выбор которой определяется удобством дальнейших вычислений. Процесс выбора данной конфигурации называется нормировкой потенциальной энергии .

Корректное определение потенциальной энергии может быть дано только в поле сил, работа которых зависит только от начального и конечного положения тела, но не от траектории его перемещения. Такие силы называются консервативными .

Также потенциальная энергия является характеристикой взаимодействия нескольких тел или тела и поля.

Любая физическая система стремится к состоянию с наименьшей потенциальной энергией.

Потенциальная энергия упругой деформации характеризует взаимодействие между собой частей тела.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли вблизи поверхности приближённо выражается формулой:

где - масса тела, - ускорение свободного падения , - высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

О физическом смысле понятия потенциальной энергии

• Если кинетическая энергия может быть определена для одного отдельного тела, то потенциальная энергия всегда характеризует как минимум два тела или положение тела во внешнем поле.
• Кинетическая энергия характеризуется скоростью; потенциальная - взаиморасположением тел.
• Основной физический смысл имеет не само значение потенциальной энергии, а её изменение.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Потенциальная энергия" в других словарях:

потенциальная энергия - Энергия, которой обладает объект благодаря его положению в геопотенциальном поле. Например, потенциальная энергия первоначально расслоенного столба воды увеличивается по мере того, как энергия ветра перемешивает его и выносит более соленую… … Справочник технического переводчика

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ - энергия взаимодействия тел; является частью полной механической энергии физ. системы, зависящей от взаимного расположения её частиц и от их положения во внешнем силовом поле (напр. гравитационном); др. частью полной механической системы является… … Большая политехническая энциклопедия

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ, вид ЭНЕРГИИ, которой обладает тело, благодаря его положению на определенной высоте в ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ Земли. Потенциальной энергией также является энергия, запасенная в такой системе, как сжатая пружина, или в… … Научно-технический энциклопедический словарь

Часть общей механич. энергии системы, зависящая от взаимного расположения материальных точек, составляющих эту систему, и от их положений во внеш. силовом поле (напр., гравитационном; (см. ПОЛЯ ФИЗИЧЕСКИЕ). Численно П. э. системы в данном её… … Физическая энциклопедия

потенциальная энергия - ▲ энергия сила, физическое поле < > кинетическая энергия потенциальная энергия энергия, зависящая от положения во внешнем силовом поле. ↓ калорийность. взрыв. взорваться … Идеографический словарь русского языка

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ энергия, часть общей механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения ее частиц и от их положения во внешнем силовом (например, гравитационном) поле. В сумме с кинетической энергией потенциальная энергия составляет… … Современная энциклопедия

Потенциальная энергия - ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ, часть общей механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения ее частиц и от их положения во внешнем силовом (например, гравитационном) поле. В сумме с кинетической энергией потенциальная энергия составляет… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Часть общей механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения ее частиц и от их положения во внешнем силовом (напр., гравитационном) поле … Большой Энциклопедический словарь

потенциальная энергия - часть общей механической энергия системы, зависящая от взаимного расположения частиц, составляющих эту систему, и от их положения во внешнем силовом поле (например, гравитационном). Численно потенциальная энергия системы равна… … Энциклопедический словарь по металлургии

Часть общей механической энергии системы, зависящая от взаимного расположения её частиц и от их положения во внешнем силовом (например, гравитационном) поле. * * * ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ, часть общей механической энергии… … Энциклопедический словарь

Книги

• Потенциальная энергия электрического взаимодействия между электрическими зарядами нуклонов и объединениями нуклонов при их сближении , Ларин В.И.. В первой части книги рассматривается зависимость потенциальной энергии электрического взаимодействия между электрическими зарядами нуклонов и объединениями нуклонов от вариантов их сближения,…

Потенциальную энергию называют энергией взаимодействия физических тел или их частей между собой. Она определяется их взаимным расположением, то есть, расстоянием между ними, и равна работе, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из точки отсчёта в другую точку в поле действия консервативных сил.

Потенциальную энергию имеет любое неподвижное физическое тело, поднятое на какую-то высоту, так как на него действует сила тяжести, являющаяся консервативной силой. Такой энергией обладает вода на краю водопада, санки на вершине горы.

Откуда же эта энергия появилась? Пока физическое тело поднимали на высоту, совершили работу и затратили энергию. Вот эта энергия и запаслась в поднятом теле. И теперь эта энергия готова для совершения работы.

Величина потенциальной энергии тела определяется высотой, на которой находится тело относительно какого-то начального уровня. За точку отсчёту мы можем принять любую выбранную нами точку.

Если рассматривать положение тела относительно Земли, то потенциальная энергия тела на поверхности Земли равна нулю. А на высоте h она вычисляется по формуле:

Е п = mɡh ,

где m – масса тела

ɡ - ускорение свободного падения

h – высота центра масс тела относительно Земли

ɡ = 9,8 м/с 2

При падении тела c высоты h 1 до высоты h 2 сила тяжести совершает работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии и имеет отрицательное значение, так как величина потенциальной энергии при падении тела уменьшается.

A = - (E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

где E п1 – потенциальная энергия тела на высоте h 1 ,

E п2 - потенциальная энергия тела на высоте h 2 .

Если же тело поднимают на какую-то высоту, то совершают работу против сил тяжести. В этом случае она имеет положительное значение. А величина потенциальной энергии тела увеличивается.

Потенциальной энергией обладает и упруго деформированное тело (сжатая или растянутая пружина). Её величина зависит от жёсткости пружины и от того, на какую длину её сжали или растянули, и определяется по формуле:

Е п = k·(∆x) 2 /2 ,

где k – коэффициент жёсткости,

∆x – удлинение или сжатие тела.

Потенциальная энергии пружины может совершать работу.

Кинетическая энергия

В переводе с греческого «кинема» означает «движение». Энергия, которой физическое тело получает вследствие своего движения, называется кинетической. Её величина зависит от скорости движения.

Катящийся по полю футбольный мяч, скатившиеся с горы и продолжающие двигаться санки, выпущенная из лука стрела – все они обладают кинетической энергией.

Если тело находится в состоянии покоя, его кинетическая энергия равна нулю. Как только на тело подействует сила или несколько сил, оно начнёт двигаться. А раз тело движется, то действующая на него сила совершает работу. Работа силы, под воздействием которой тело из состояния покоя перейдёт в движение и изменит свою скорость от нуля до ν , называется кинетической энергией тела массой m .

Если же в начальный момент времени тело уже находилось в движении, и его скорость имела значение ν 1 , а в конечный момент она равнялась ν 2 , то работа, совершённая силой или силами, действующими на тело, будет равна приращению кинетической энергии тела.

∆E k = E k2 - E k1

Если направление силы совпадает с направлением движения, то совершается положительная работа, и кинетическая энергия тела возрастает. А если сила направлена в сторону, противоположную направлению движения, то совершается отрицательная работа, и тело отдаёт кинетическую энергию.

Энергия – скалярная величина. В системе СИ единицей измерения энергии является Джоуль.

Кинетическая и потенциальная энергия

Различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Кинетическая энергия – это энергия, которой тело обладает вследствие своего движения:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Потенциальная энергия – это энергия, которая определяется взаимным расположением тел, а также характером сил взаимодействия между этими телами.

Потенциальная энергия в поле тяготения Земли – это энергия, обусловленная гравитационным взаимодействием тела с Землей. Она определяется положением тела относительно Земли и равна работе по перемещению тела из данного положения на нулевой уровень:

Потенциальная энергия – энергия, обусловленная взаимодействием частей тела друг с другом. Она равна работе внешних сил по растяжению (сжатию) недеформированной пружины на величину :

Тело может одновременно обладать и кинетической, и потенциальной энергией.

Полная механическая энергия тела или системы тел равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела (системы тел):

Закон сохранения энергии

Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения энергии:

В случае, когда на тело (или систему тел) действуют внешние силы, например, закон сохранения механической энергии не выполняется. В этом случае изменение полной механической энергии тела (системы тел) равно внешних сил:

Закон сохранения энергии позволяет установить количественную связь между различными формами движения материи. Так же, как и , он справедлив не только для , но и для всех явлений природы. Закон сохранения энергии говорит о том, что в энергию в природе нельзя уничтожить так же, как и создать из ничего.

В наиболее общем виде закон сохранения энергии можно сформулировать так:

• энергия в природе не исчезает и не создается вновь, а только превращается из одного вида в другой.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2