Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Додекаэдр - это многогранник, состоящий из 12 одинаковых пятиугольников. Это базовая фигура для множества поделок: от настольных календарей до ажурных подвесных фонариков.

Есть и другие методы. Например, пятиугольник можно построить с помощью транспортира, но точности он не гарантирует. Наиболее легий способ - взять готовую схему, распечатать ее и по этой "выкройке" уже мастерить из подходящей бумаги поделку. Но этот способ, несмотря на простоту, подходит не всегда - ведь иногда нужно сделать додекаэдр какого-то конкретного размера. Можно увеличить один пятиугольник до нужного масштаба и распечатать только его, затем построить фигуру по схеме ниже.

Но "выкройка" - это еще не готовая поделка. Как сделать додекаэдр из бумаги? Для этого понадобятся:

1. Бумага, подходящая по плотности. Она не должна быть слишком тонкой или же слишком толстой - желательно 220 г/м², именно такой плотностью обладает картон, который продают в детских наборах. Хотя из толстого картона вполне можно создавать объемные фигуры, нужно только предварительно обработать все сгибы - слегка надрезать или хорошо продавить, чтобы они хорошо и ровно сгибались.

2. Ножницы, вязальная спица или канцелярский нож

Советы по изготовлению додекаэдра

Бумагу в местах сгибов желательно слегка продавить спицей, тупой стороной или чем-то острым, но не режущим. Аккуратные ровные сгибы - половина успеха.

Если клея под рукой нет, додекаэдр можно собрать, как конструктор, сделав надрезы по сгибам, а затем просто вставив стороны одна в другую.

Если вы собираете додекаэдр в модульной технике (инструкция ниже), то места соединений желательно проклеивать или закреплять скрепками, поскольку конструкция станет устойчивой только после закрепления последнего модуля.

Додекаэдр в технике оригами

Модуль оригами - отличная основа для додекаэдра. Как сделать додекаэдр из бумаги в модульной технике? Понадобится 30 прямоугольных или квадратных листов бумаги. Каждый из листочков складывается пополам, затем каждую половинку нужно отогнуть в противоположную сторону - получится "гармошка" в четыре сложения. Иногда, если лист не квадратный, делают "гармошку" в три сложения. В итоге у вас в руках узкая промоугольная полоска. Затем с каждой стороны прямоугольника по узкой стороне нужно отогнуть уголок. Уголки складываются в одну сторону - это будущие крепления, которые будут заправляться в "гармошку". Затем согните модуль вовнутрь наискосок по диагонали от маленьких боковых уголков. Таким образом, один модуль для оригами додекаэдра - трехмерный, он включает два ребра будущей фигуры и уголки. Когда все модули готовы, можно начинать сборку.

Сборка начинается с одного узла, для которого необходимо взять три модуля. На рисунке ниже это голубой, розовый и желтый модули оригами. Схемы сборки достаточно просты, и с такими фигурами легко справляются даже начинающие.

Какие поделки можно сделать на основе додекаэдра?

Каждая сторона додекаэдра из бумаги - это плоский пятиугольник, который сам по себе может являться основой для самых разных и причудливых форм. Например, на фото ниже пятиугольник заменен пятиконечнй звездой. Ребра в такой фигуре отсутствуют, хотя предполагаются. Как сделать додекаэдр из бумаги в виде звезды? Замените в развертке, представленной выше, каждый пятиугольник необходимой пятиконечной фигурой и соедините их не по ребрам, а по вершинам.

На этом фото представлен звездчатый додекаэдр. В основе каждого "луча" лежит все тот же пятиугольник.

Вместо пятиугольных пирамид может быть выполнена любая объемная фигура.

На фото ниже в качестве пятиугольников выступают более сложные модули оригами, схемы которых заинтересовавшиеся этой техникой смогут найти в специальной литературе.

В любом случае освоение даже простейшей схемы сборки додекаэдра уже даст огромные возможности для творчества и поиска своих собственных вариантов.

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Развивающие и обучающие пособия в интернет-магазине "Интеграл"
Тренажер по Моро М.И. Тренажер по Петерсон Л.Г.

Из истории додекаэдра

Каждый, кто учился в школе, изучал геометрию, кто-то ее любил, а кто-то не очень, а кому-то только предстоит познакомиться с этой наукой. И, конечно же, всем задавали нарисовать или собрать различные геометрические фигуры, а потом оценивали лучшую работу. Но, к сожалению не все учителя рассказывают о происхождении геометрических фигур, для чего они нужны, какое значение имеют и где применяются. А у фигур очень богатая история, они важны так же, как и любые открытия в нашем мире. А встречаются они повсюду, просто мы не всегда их замечаем. Сегодня мы расскажем вам о додекаэдре.

Слово додекаэдр имеет греческое происхождение и состоит из 2 слов: dodeka (двенадцать) и hedra (грань). Додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин, в каждой из которых сходиться 3 ребра и 30 рёбер. Сумма плоских углов равна 324°. Это двенадцатигранник, который составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Додекаэдр правильный многогранник, он имеет три звездчатые формы.

О додекаэдре было известно уже в древние времена. Например, ученикам Пифагорейской школы запрещалось произносить это слово за пределами школы, так как за это они могли лишиться жизни. К этой фигуре относились как к святой фигуре, о ней даже боялись что-либо сказать. Лишь спустя двести лет, во времена Платона, об этой фигуре начали очень осторожно говорить. Запрещено было произносить что-то лишнее, тем более оскорбительное или пренебрежительное. Верили в то, что додекаэдр находится в энергетическом поле людей и является высшей формой сознания человека. К тому же считалось, что люди живут внутри огромного додекаэдра, в котором расположена наша вселенная и когда ум человека достигает самого предела пространства Космоса, он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере.

Додекаэдр в нашей жизни

Где же можно встретить додекаэдр? Подумайте хорошенько! Наверное почти все видели его в качестве генератора случайных чисел, например, по телевизору в игре лото или в настольных ролевых играх. Додекаэдр можно встретить в игре «Пентакор», мир которого представлен в виде этой фигуры. И, конечно же все слышали про Пентагон, это здание Министерства обороны США имеет форму правильного пятиугольника.

В августе 2006 года при нанесении на карты распределения тёмной материи в скоплении галактик, были сделаны выводы, что наша Вселенная выглядит как набор бесконечно повторяющихся додекаэдров.

Правильные многогранники всегда привлекали совершенством своих форм, полной, казалось бы, невозможной симметричностью. Некоторые из таких тел встречаются в природе, например в виде кристаллов, другие - могут быть в виде вирусов или простейших микроорганизмов.

Собрать эту удивительную фигуру вы можете, используя наши развертки додекаэдра.

Развертка додекаэдра из бумаги или из картона

Схема правильного додекаэдра	Схема додекаэдра с формулами	Схема додекаэдра с великими открытиями человечества

Додекаэдром называется правильный многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Эта эффектная объемная фигура обладает центром симметрии, называемым центром додекаэдра. Кроме того, в ней присутствуют пятнадцать плоскостей симметрии (в каждой грани любая из них проходит через середину противоположного ребра и вершину) и пятнадцать осей симметрии (пересекающих середины параллельных противолежащих ребер). Каждая из вершин додекаэдра является вершиной трех пятиугольников правильной формы.

Свое название конструкция получила по количеству входящих в нее граней (традиционно древние греки давали многогранникам имена, отображающие число граней, составляющих структуру фигуры). Таким образом, понятие «додекаэдр» образовано из значений двух слов: «додека» (двенадцать) и «хедра» (грань). Фигура относится к одному из пяти Платоновых тел (наряду с тетраэдром, октаэдром, гексаэдром (кубом) и ). Интересно, что согласно многочисленным историческим документам, все они активно использовались жителями Древней Греции в виде настольных игральных костей и изготавливались из самого различного материала.

Правильные многогранники всегда привлекали людей своей красотой, органичностью и необыкновенным совершенством форм, но додекаэдр имеет особую историю, которая из года в год обрастает все новыми, иногда совершенно мистическими, фактами. Представители многих цивилизаций усматривали в нем сверхъестественную и таинственную сущность, утверждая, что: «Из числа двенадцать произрастает многое». На территориях древних разрушенных государств до сих пор находят маленькие фигурки в виде додекаэдров, выполненные из бронзы, камня или кости. Кроме того, при раскопках на землях современной Англии, Франции, Германии, Венгрии, Италии археологи обнаружили несколько сотен так называемых «римских додекаэдров», датирующихся II-III-м веками нашей эры. Основные размеры фигурок составляют от четырех до одиннадцати сантиметров, причем отличаются они самыми невероятными узорами, текстурами и техникой исполнения. Выдвинутая еще во времена Платона версия о том, что Вселенная представляет собой огромного размера додекаэдр, нашла подтверждение уже в начале XXI -го века. После тщательного анализа данных, полученных при помощи WMAP(многофункционального космического аппарата NASA), ученые согласились с предположением древнегреческих астрономов, математиков и физиков, в свое время занимавшихся вопросами изучения небесной сферы и ее строением. Более того, современные исследователи считают, что наша Вселенная представляет собой бесконечно повторяющийся набор додекаэдров.

Как сделать правильный додекаэдр своими руками

Сегодня конструкция данной фигуры нашла свое отображение во многих вариантах художественного творчества, архитектуре и строительстве. Народные умельцы изготавливают из цветной или белой бумаги необыкновенные по красоте оригами в виде ажурных додекаэдров, а из картона делают оригинальные и прочее). В продаже можно приобрести уже готовые наборы, содержащие все необходимое для изготовления сувениров, но наиболее интересно произвести весь процесс работы своими руками, начиная от построения отдельных деталей и заканчивая сборкой готовой конструкции.

Материалы:

Для того, чтобы сделать правильный додекаэдр из картона, необходим собственно сам материал и подручные средства:

• ножницы,
• карандаш,
• ластик,
• линейка,
• клей.

Хорошо иметь тупой нож или какое-либо приспособление для загибания припусков, но если их нет, то вполне подойдет металлическая линейка или те же ножницы.

Как сделать звездчатый додекаэдр

Звездчатые додекаэдры имеют более сложную конструкцию по сравнению с обычными. Эти многогранники подразделяются на малый (первого продолжения), средний (второго продолжения) и большой (последняя звездчатая форма правильного додекаэдра). Каждый из них отличается своими особенностями построения и сборкой. Для работы Вам потребуются те же материалы и инструменты, что и для изготовления стандартного додекаэдра. Если Вы решили сделать первый вариант (малый додекаэдр), то необходимо построить чертеж первого элемента, который станет основой для всей конструкции (в дальнейшем производится ее склеивание или сборка деталей при помощи скрепок).

Додекаэдр - это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.

Общие понятия о фигуре

Додекаэдр - это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает "фигура с 12-ю гранями". Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

Геометрические свойства правильного додекаэдра

Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.

Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г - количество граней, В - вершин, Р - ребер. Зная, что правильный додекаэдр - это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В - 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .

Математические формулы для правильного додекаэдра

Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:

• Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной "a", выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
• Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
• Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R 1 = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R 1 = 1,11*a.
• Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R 2 = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R 2 = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.

Симметрия правильного додекаэдра

Как видно из рисунка выше, додекаэдр - это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

• 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
• 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
• 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
• 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

• Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр - это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

• Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Историческая справка

Как выше было сказано, додекаэдр - это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.

Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).

Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр - это огонь; куб - земля; октаэдр - воздух; икосаэдр - вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.

Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.

Додекаэдр и сакральная геометрия

Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.

Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.

Римский додекаэдр

В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.

Как римляне использовали эти предметы - не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:

• предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
• они применялись как игральные кости;
• додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
• могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.

Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.

Додекаэдром называется объемная фигура, состоящая из двенадцати пятиугольников. Чтобы получить эту фигуру, необходимо вначале начертить ее развертку на плотной бумаге, а затем собрать ее из этой развертки в пространстве.

Вам понадобится

• - плотная бумага;
• - карандаш;
• - циркуль;
• - линейка;
• - угольник;
• - кусок тонкой проволоки;
• - ножницы;
• - клей.

Инструкция

• Начните работу с черчения центрального правильного пятиугольника. Для этого начертите циркулем окружность. Проведите через ее центр диаметр. Теперь его необходимо разделить на три части. Существует теорема, доказывающая, что трисекция (то есть, разделение отрезка или угла на три одинаковые части) при помощи линейки без делений и циркуля невозможна. Поэтому либо измерьте диаметр линейкой и поделите его на три, а затем отметьте на нем соответствующие точки по делениями линейки, либо измерьте его куском тонкой проволоки, сложите ее втрое, затем распрямите, наложите на диаметр и отметьте точки в местах сгиба.
• В результате деления диаметра на три части на нем получатся две точки. Через одну из них проведите к диаметру при помощи угольника перепендикуляр. Он пересечет окружность в двух местах. Из каждого из них проведите по лучу, проходящему через вторую точку на диаметре. Они пересекут окружность еще в двух местах, ну а пятое место пересечения образует сам диаметр. Останется лишь соединить их между собой, и получится правильный пятиугольник, вписанный в окружность.
• Начертите тем же способом еще одиннадцать пятиугольников, расположив их таким образом, чтобы получилась фигура, подобная показанной на рисунке. Пририсуйте к ее граням сбоку небольшие лепестки, облегчающие склейку. Затем вырежьте ее и склейте. То, что должно получиться в результате, показано на иллюстрации в заголовке статьи.
• Поскольку у додекаэдра ровно двенадцать граней, в виде этой фигуры можно изготавливать объемные, устойчивые настольные календари. Для этого сначала составьте на каждой из граней по календарю на один месяц, и лишь затем вырежьте и склейте фигуру. Также такой календарь можно сгенерировать автоматически, перейдя по указанной ниже ссылке. Год определится автоматически по встроенным часам сервера, а язык названий месяцев и дней недели - по настройкам вашего браузера.